弱紧基数

英文

weaklycompactcardinals

简介

大基数的一种，是大基数理论中的一个核心概念.若语言Lκκ中任何只用到≤κ个非逻辑符号的语句集A有模型，当且仅当A的每个基数κ的子语句集有模型，则称基数κω是弱紧基数.弱紧基数是由匈牙学者爱尔特希(Erdos，P.)和波兰学者塔尔斯基(Tarski，A.)于1961年开始进行研究的.弱紧基数的等价性质很多，例如以无穷组合论中的一些性质来刻画，对于κω，κ是弱紧基数与以下各条等价：

1.κ具有分划性质κ→(κ)22.

2.对任何基数γκ及nω，κ具有分划性质κ→(κ)nγ.

3.κ是强不可达基数且有树性质.

此外，κ是弱紧基数还与下列这些性质等价;

4.κ是超滤性质.

5.κ有弱超滤性质且κ是强不可达基数.

6.κ有Vκ可扩张性质.

7.κ有序性质.

8.κ是π11不可描述基数.

汉弗(Hanf，W.P.)于1964年与库仑(Kunen，K.)于1977年的工作结合起来，得到如下结论：弱紧基数κ是强马赫罗基数，并且κ以下的强马赫罗基数的集合是κ的驻子集.通常的一阶逻辑语言是Lωω，其紧致性定理是：Lωω的任一语句集A有模型，当且仅当A的每个有穷子集有模型.亦即，语言Lωω是(ω，ω)紧的.上述弱紧基数的定义与此略有不同，如果完全依照ω的这一紧致性而加以推广，则可定义另一种弱紧基数，人们称之为弱紧2基数.基数κω称为弱紧2基数，是指语言Lκκ是(κ，κ)紧的，即对于Lκκ的任何基数≤κ的语句集A，A有模型，当且仅当A的每个基数κ的子语句集有模型.若将先前定义的弱紧基数称为弱紧1基数，则可以证明：κ是弱紧1基数，当且仅当κ是弱紧2基数，且是强不可达基数.在广义连续统假设之下，弱紧1与弱紧2基数是相同的.弱紧2基数必为弱马赫罗基数.

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